MonochromE　ExistencE　of　NobodY

• 05/19/22:03

はぁ。。。なんかもう勉強が萎えはいってきた

宿題なんてやりたくないからちょっと一人で自己満足を。(ちなみに自分で全部書くので間違い多々かもです。よろしければ指摘してください)

問：自然数nに関して、　1×n＋２×(n－1)＋３×(n－２)＋・・・＋(n－１)×２＋n×１

　　　　　　　　　　　　　　＝６分の１×n×(n＋１)×(n＋２)

　　が成り立つことを証明しなさい。(6分の１って書いてしまってすいません(泣　わかりづらいですねｗ)

これを数学的帰納法を用いて証明してみようかと思います。　　まぁ激しく適当ですがｗ

(証明)

①n＝１の時、

　(右辺)＝１×１＝１　　　　(左辺)＝６分の１×１×２×３＝１　　　よって、(右辺)＝(左辺)より、成立する。

②次に、n＝aの時、

　　　　　　　　　　　　　　　 1×a＋２×(a－1)＋３×(a－２)＋・・・＋(a－１)×２＋a×１

　　　　　　　　　　　　　　＝６分の１×a×(a＋１)×(a＋２)　　　が成り立つと仮定をする。　　・・・(※)

　ここでn＝a＋１の時を考える。すると、

　　　　　　　　　　(左辺)＝1×(a＋１)＋２×a＋３×(a－１)＋・・・＋a×２＋(a＋１)×１

　　　　　　　　　　　　　　＝1×a＋２×(a－1)＋３×(a－２)＋・・・＋(a－１)×２＋a×１＋{１＋２＋３＋・・・・・＋(a－１)＋a＋(a＋１)}　　

　と置けます(ちょっとみづらいです。。。すいません)

　ここで、(※)より、

　　　　　　　　　　　　　　＝６分の１×a×(a＋１)×(a＋２)＋{１＋２＋３＋・・・・・＋(a－１)＋a＋(a＋１)}となる。

　和の公式から、{}部は　{１＋(a＋１)}×(a＋1)×２分の１　と置き換えられる。

　　　　　　　　　　　　　　＝６分の１×(a＋１)×{a×(a＋２)＋３a＋６}

　　　　　　　　　　　　　　＝６分の１×(a＋1)×(a＋２)×(a＋３)＝(右辺)

　よって、n＝a＋１の場合でも成立する。

①、②から、与式はすべてのnについて成り立つ。　　　　(証明終)

一応自分なりに証明してみました(汗　　　なんか激しくわかりづらいですねｗ

ふぅ、いい暇つぶしになったｗ

• 12/20/22:33
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